Algèbre linéaire Exemples

$x - 4 y = a$ , $2 x + 3 y = - 6$

Étape 1

Soustrayez $a$ des deux côtés de l’équation.

$x - 4 y - a = 0, 2 x + 3 y = - 6$

Étape 2

Écrivez le système d’équations sous forme de matrice.

$[\begin{array}{c} - 1 & 1 & - 4 & 0 \\ 0 & 2 & 3 & - 6 \end{array}]$

Étape 3

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

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Étape 3.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Étape 3.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - - 1 & - 1 \cdot 1 & - - 4 & - 0 \\ 0 & 2 & 3 & - 6 \end{array}]$

Étape 3.1.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 4 & 0 \\ 0 & 2 & 3 & - 6 \end{array}]$

Étape 3.2

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Étape 3.2.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 4 & 0 \\ \frac{0}{2} & \frac{2}{2} & \frac{3}{2} & \frac{- 6}{2} \end{array}]$

Étape 3.2.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 4 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{3}{2} & - 3 \end{array}]$

Étape 3.3

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Étape 3.3.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 4 + \frac{3}{2} & 0 - 3 \\ 0 & 1 & \frac{3}{2} & - 3 \end{array}]$

Étape 3.3.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{11}{2} & - 3 \\ 0 & 1 & \frac{3}{2} & - 3 \end{array}]$

Étape 4

Utilisez la matrice de résultat pour déclarer les solutions finales au système d’équations.

$a + \frac{11 y}{2} = - 3$

$x + \frac{3 y}{2} = - 3$

Étape 5

Soustrayez $\frac{11 y}{2}$ des deux côtés de l’équation.

$a = - 3 - \frac{11 y}{2}$

$x + \frac{3 y}{2} = - 3$

Étape 6

Soustrayez $\frac{3 y}{2}$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3 - \frac{3 y}{2}$

$a = - 3 - \frac{11 y}{2}$

Étape 7

La solution est l’ensemble des paires ordonnées qui rend le système vrai.

$(- 3 - \frac{11 y}{2}, - 3 - \frac{3 y}{2}, y)$

Étape 8

Décomposez un vecteur solution en réorganisant chaque équation représentée dans la matrice augmentée en ligne réduite en résolvant pour la variable dépendante sur chaque ligne pour obtenir l’égalité vectorielle.

$X = [\begin{array}{c} a \\ x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - 3 - \frac{11 y}{2} \\ - 3 - \frac{3 y}{2} \\ y \end{array}]$